Ejemplos de algunas de las cosas vistas en artículos anteriores en una obra de Bach.

En 1723 Bach decide reunir una serie de obras escritas para el aprendizaje de sus hijos (Wilhelm Friedemann, sobre todo) bajo el título de Invenciones y Sinfonías. La obra recoge quince piezas a dos voces y otras quince a tres, todas ellas con estructura similar —si entramos a profundizar, podemos subdividir en tres tipos de estructura, pero es innecesario para los propósitos de este artículo—. No es ocioso, en cambio, comentar que la palabra Invención proviene de la retórica, y que muchos procedimientos empleados en estas obras se asemejan a los de la retórica.

En el prefacio de la colección, Bach escribe "Recta instrucción en que a los amantes del teclado, y especialmente aquellos deseosos de aprender, se les muestra un camino claro no sólo (1) para aprender a tocar claramente a dos voces, sino, después de progresar, (2)para manejarse correctamente y bien con tres partes de obligatto; más aún al mismo tiempo no sólo a tener buenas invenciones sino a desarrollarlas bien y, sobre todo alcanzar un estilo cantabile al tocar y adquirir un fuerte pregusto de la composición (las negritas son mías).

Bach compuso pues una obra no sólo para enseñar a tocar, sino también a componer. Es por ello que suelo usar las Invenciones para ilustrar ciertos procesos compositivos.

La invención de la que nos vamos a ocupar es la nº 1, a dos voces, que podéis oír pulsando aquí si vuestro navegador es capaz de reproducir archivos MIDI. La interpretación es mecánica para que podáis sacar vuestras propias conclusiones. Si deseáis escuchar una grabación muy bien interpretada, os recomiendo la de Kenneth Gilbert.

Veíamos en un capítulo anterior como la creación de forma depende en ocasiones de la repetición de un fragmento musical. Aquí tenéis el fragmento sobre el que reposa esta pieza. A este tipo de fragmentos que sirven de base a una obra, los denominamos cuando cumplen ciertos requisitos motivos, o, más exactamente en este caso sujetos.

En ese mismo capítulo hablábamos de como podíamos conseguir por medio del transporte una mayor satisfacción para el oído sin perder unidad. Pulsando aquí podréis escuchar un ejemplo singularmente trivial —no tiene sentido intentar mejorar a Bach— de este procedimiento.

En el capítulo siguiente veíamos que existe una técnica de transformación temática llamada inversión. Pulsando aquí podéis escuchar el sujeto de esta invención invertido.

Como es natural, en la creación de melodía pueden combinarse ambas versiones, más transportes de las mismas.

En mi experiencia, cuando uno explica estos procedimientos, tiende a encontrarse que la gente piensa que son fríos, mecánicos y poco humanos. Lejos de ello, son muy naturales y es fácil interiorizarlos hasta que salgan de manera espontánea sin pensar en ellos.

Observemos si Bach ha empleado algo de esto. Para los que no sepáis leer música, estad tranquilos, sólo os hace falta distinguir los colores que hay en la partitura.

• Marcadas con elipses rojas, están las apariciones del sujeto en su forma original —no he distinguido los transportes porque hubiese necesitado una partitura mucho mayor, que hubiese hecho impráctico leer el archivo a quienes se conecten por módem—.
• Marcadas por elipses azules, las intervenciones por movimiento contrario.
• Marcadas con cuadrados rojos, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas del sujeto, casi siempre con valores rítmicos dobles —este proceso se llama aumentación—.
• Marcadas con cuadrados azules, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas por movimiento contrario, también casi siempre por aumentación.
• Marcadas con cuadros verdes, intervenciones del final del sujeto enlazado varias veces consigo mismo.
• Subrayadas en verde intervenciones de las últimas notas por movimiento contrario y aumentación.

No he querido marcar un motivo de menor importancia que existe en la obra para no acumular grafismos. Y, por no generar polémica, no he marcado algunos puntos que puede argüirse perfectamente que se derivan también del sujeto.

Como cualquiera puede ver, el único compás de la obra en que no aparece el sujeto o fragmentos del mismo, varias veces, además, es el que contiene el acorde final. Creo que esto demuestra claramente la eficacia de las técnicas que hemos comentado recientemente.

El próximo artículo de esta subsección será el último. En él veremos qué ideas han sugerido a los compositores del siglo XX y XXI estas técnicas. Posteriormente, hablaremos de otros tipos de utilización de números en la música, comenzando con la obsesión de Bach por el 14 y cómo lo aplicó en su última obra, que dictó desde el lecho de muerte.

Cómo se han aplicado en el siglo XX algunas de las técnicas recientemente vistas.

Comencemos con un breve resumen de lo visto en capítulos anteriores.

En el primer capítulo estudiábamos la necesidad de que la obra sea unitaria. Veíamos también que una de las formas en que eso se podía lograr era por medio de la repetición de material temático, sometido a transportes. Notábamos también que el proceso era semejante a ciertas manipulaciones topológicas y numéricas.

En el siguiente artículo, estudiábamos las llamadas técnicas de transformación temática del contrapunto, viendo que existía igualmente la posibilidad de encontrar semejanzas con la topología y la aritmética modular.

En el penúltimo capítulo veíamos ejemplos de todo ello dentro de una obra de Bach.

Comencemos por aclarar que en época de Bach esas técnicas eran ya muy antiguas, y que podemos encontrar tantos ejemplos como sea preciso de su utilización. De la misma forma, los ejemplos dentro de la obra de Bach se extienden a la práctica totalidad de su obra. Y ejemplos posteriores son también enormemente abundantes.

Es por ello que cuando la Segunda Escuela de Viena necesita encontrar una forma de utilizar su concepto de serie, recurre a estos medios para manipularla. En otra parte de esta web podéis encontrar un artículo extenso sobre cómo esta escuela no pretende una ruptura con la tradición sino todo lo contrario.

Podríamos definir brevemente la serie como una determinada ordenación de un conjunto de notas, estableciendo que la octava en que se encuentre cada nota es irrelevante (esta última condición es el equivalente de la teoría de las Pitch classes, de tanta vigencia en Norteamérica. En el caso concreto de la Segunda Escuela de Viena, hay que añadir la condición de que se empleen todas las notas de la escala cromática una sola vez. Otras condiciones son irrelevantes para los propósitos de este artículo.

Tras la segunda guerra mundial, por razones que no vienen ahora al caso, se desarrolla el concepto de serialismo integral, que viene a consistir en que se aplica el concepto de serie a parámetros diferentes de la altura, como pueden ser duraciones, ritmos, ataques, dinámicas, timbres…

Esta aplicación del concepto de serie resulta contraintuitiva para muchos músicos, que no aciertan a veces a comprender cómo las técnicas de transformación del contrapunto pueden aplicarse a estos elementos.

La base para comprenderlo, es aplicar el concepto de modularidad a estos parámetros. Para poner un ejemplo, vamos a jugar con combinaciones de timbres.

• Combinación 0: Violín, viola, flauta.
• Combinación 1: Arpa, viola, flauta.
• Combinación 2: Arpa, viola, vibráfono.
• Combinación 3: Arpa, marimba, vibráfono.
• Combinación 4: Violín, marimba, vibráfono.
• Combinación 5: Violín, marimba, flauta.

Es fácil ver que comenzamos en 0 con una combinación de sonidos contínuos (a partir de ahora los denominaremos sonidos de tipo línea) y vamos añadiendo sonidos no contínuos (a partir de ahora los llamaremos de tipo punto) hasta que en 3, ninguno lo es, y luego procedemos al contrario, logrando así una disposición de los timbres que resulta evidentemente ordenada y modular. Supongamos que establecemos un motivo tímbrico [0, 1, 2, 3, 5, 0]. La sensación para el oído será la de un tránsito suave de los sonidos línea a los de tipo punto y luego un regreso rápido a los de tipo línea, que se confirmaría en el último paso.

¿Cabría aplicar la técnica del transporte? ¿Tendría sentido musical? Para comprobarlo, transportemos a la combinación 3.

En forma gráfica.

Nos da

En forma modular, sumando 3 a cada miembro de [0, 1, 2, 3, 5, 0], nos sale [3, 4, 5, 6, 8, 3]. Como 6 y 8 exceden las 6 combinaciones que hemos establecido, restamos 6, hasta conseguir números entre 0 y 5, con lo que nos queda [3, 4, 5, 0, 2].

Podemos observar que vuelve a tener perfecto sentido musical, en este caso una transición suave de los sonidos punto a los línea, una brusca a los de tipo punto y una confirmación final.

Resulta evidente que podemos aplicar el mismo tipo de operaciones para crear los análogos de inversión, retrogradación e inversión retrograda, y de los transportes de cada una de ellas (si no resulta evidente, comentadlo).

Dos cosas quedan por comentar. La primera, que no en todos los casos va a resultar tan evidente la posibilidad de modularizar los parámetros que deseemos. Lanzo la afirmación, que espero que discutáis, de que la modularización es siempre arbitraria, incluso en el caso de las alturas, añadiendo inmediatamente que esa arbitrariedad supone una decisión por parte del compositor de sustentar parte de la forma de la obra en el parámetro elegido (sobre este tipo de arbitrariedad, tendré ocasión de comentar cosas en un próximo artículo).

La segunda, es para mí la más importante. Creo que uno de los resultados más extraordinarios del serialismo integral es la idea de poder confeccionar escalas de elementos diferentes a la altura. Esta posibilidad de escalizar elementos ha sobrevivido mucho y bien al serialismo integral, y supone un grado de enriquecimiento de la música notable, en la medida en que abre todos los parámetros musicales a la posibilidad de sustentar la forma.

Termino con esto esta subserie. En otro orden de cosas, anuncio que los siguientes artículos con contenidos matemáticos no tendrán por título "Música y matemáticas", para no tener que llevar cuentas de qué número y letra habéis leído o dejado de leer. En su lugar, abro una categoría nueva (la podéis ver en la barra azul de la izquierda de la portada) con ese título.