Musica y Matematica
Comienzo con éste, una serie que preveo larga de artículos relacionando la música con las matemáticas, tanto para confirmar algunas relaciones como para dudar de otras.

En el mundo de la música existe una tendencia notable a desconfiar de las matemáticas, e incluso a valorar negativamente una obra diciendo que es "demasiado matemática". En mi opinión, es una idea relacionada con una enseñanza matemática quizá defectuosa y con una comprensión insuficiente de lo que es la matemática.

Algo que debería empezar por aclarar es que las matemáticas son una herramienta. En la espléndida bitácora de Tio Petros podemos encontrar una buena explicación, basada en modelos. Dicho en otras palabras: siempre que al lado de dos naranjas caigan otras dos, el total será cuatro, incluso si no hay ninguna voluntad matemática implicada. Si efectuamos una operación de abstracción podemos llegar a la elucubración de que 2+2=4, concepto útil porque se aplica a muchas otras cosas distintas a las naranjas (ya no trabajamos con objetos físicos sino con modelos). Y abstrayendo aún más, podemos llegar a la suma.

De la misma manera, por poner un ejemplo relacionado con la música, en lo que ha venido siendo la inmensa mayoría de la música occidental, se cumple que se busca un punto de máxima tensión en la obra, que suele estar relacionado con, aproximadamente, el 61,8% de la duración de la misma. Que esa proporción coincida con la llamada "sección áurea", no implica una voluntad matemática por parte del compositor. Pero, en cambio, podemos utilizar el conocimiento matemático del hecho para especular por qué esta proporción parece satisfactoria, y explorar así si se cumple a niveles micro y mesoformales. Habrá un artículo en su momento al respecto, así como sobre otros muchos ejemplos.

En resumen, las matemáticas son una herramienta más que el músico es libre de emplear o no, pero en ningún caso suponen una valoración del resultado de la obra.

Añado una lista incompleta —nunca podría ser completa— de formas en que las matemáticas y la música se relacionan:

  1. Explicando la física del sonido. Es un punto archiconocido que, por lo mismo, no trataremos aquí.
  2. Empleando los números en forma que llamaremos de momento cabalista como estímulo en la imaginación del compositor para crear parte de su música. Es el caso de una inmensa cantidad de compositores barrocos —Juan Sebastián Bach, santo patrono de este weblog, es uno de los casos más señalados—, y, entre los recientes, de ciertas obras de, por ejemplo, Luis de Pablo, Boulez, Berio y Takemitsu.
  3. Empleando otras técnicas matemáticas para generar parte de la obra, Como ejemplos se me ocurren: el empleo de técnicas algorítmicas y combinatorias (Mozart, El juego de los dados musicales), estadísticas (gran parte de la obra de Xenakis) o matriciales (gran parte del serialismo norteamericano).
  4. Modelando determinados parámetros de la obra de tal forma que se pueda generar ella sola a partir de un material inicial dado. Es algo bastante reciente, que ha dado algún resultado espectacular y bastantes que no tanto

Para terminar, debo aclarar que, como por azares de la vida, mi formación matemática es amplia pero no rigurosa, será inevitable algún error de nomenclatura que pido desde este momento que me disculpéis.


musica y matematica (2)

Creación básica de forma musical. Transportes. Equivalentes gráficos. Modularidad de las alturas.

En esta subserie de artículos (los que llevan por título Música y matemáticas 2, y una letra), comenzaré desde conceptos muy básicos para músicos que pueden no serlo tanto para matemáticos y viceversa. Cuando acabe la subserie (tres o cuatro artículos), algunos elementos que muchos músicos consideran crípticos del serialismo integral, deberían quedar más claros. También será útil a quién quiera desarrollar aplicaciones informáticas que se refieran a música. Y a los demás, os deseo que al menos os divirtáis.

Empecemos, pues.

Una de las cosas más necesarias para que la música "funcione" es que tenga unidad. Es claro que una cantidad de sonidos que se relacionen entre sí sin nada que los relacione (digamos las esquilas de un hato de ovejas, superpuestas al murmullo de un rio, mientras pasa un helicóptero y al lado otro excursionista tiene la radio demasiado alta), va a ser difícil de percibir como experiencia musical unitaria, aunque puede admitirse que haya quien disfrute de tal experiencia sonora.

Necesitamos más bien algo que nos haga pensar que la obra se relaciona consigo misma, que cada momento que oímos, se relaciona con los que hemos oído o los que nos quedan por oír —las formas en que se puede conseguir esto son incontables, y no excluyen el contraste—.

Dentro de las formas más primitivas —que está lejo de significar toscas— de conseguir esto, tenemos la repetición de una línea melódica no demasiado larga. Esta repetición aportará unidad a la obra, logrando que nuestro oído alcance satisfacción. Esta práctica es el origen, por ejemplo, de todas las formas musicales basadas en el ostinato.

Lo malo de este procedimiento es que puede, fácilmente, producir demasiada unidad, y acabar resultando aburrido. Dentro de unos párrafos comenzaremos a encontrar alternativas a esta monotonía.

Otra de las posibilidades para crear unidad es limitar el rango de frecuencias con que trabajamos: en lugar de emplear todo el espectro de frecuencias comprendido entre los 40 y los 20.000 Htz que abarca el oído humano, limitamos estas frecuencias a unas pocas (según mis conocimientos, ésto ha sido universal en todas las culturas hasta la aparición de instrumentos electrónicos). Así, elegimos unas pocas frecuencias con las que trabajar, y formamos escalas.

El intervalo de octava, por motivos en parte físicos (es singularmente presente en la naturaleza) y en parte biológicos (el registro de mujeres y hombres cuando cantan juntos difiere normalmente en esa cantidad), acaba dominando la elección de esas frecuencias, de forma que lo usual en todas las culturas es que dentro de una octava se elijan ciertas frecuencias y se repitan en todas las demás. Los pocos casos en que eso no ha sido exacto —hablo de músicas populares—, es cuando se ha dispuesto de instrumentos —las steel drums tropicales, por ejemplo—, cuyo rendimiento difiere en cada octava.

Con esto llegamos a que las escalas se han tratado de una forma que, a partir de ahora, denominaremos modular. Si observamos un reloj, no nos parece ilógico que después de las doce venga la una. O a quien juegue bien a las cartas —no es mi caso—, tampoco le parecerá extraño que en la baraja francesa después de la reina y el rey vengan el as y el dos. Son casos, por así decirlo, en que imponemos un orden pero no un principio y un fin.

Observemos una escala diatónica normal.

         

Podemos observar que he optado por representarla en círculo. A todos nos han hecho en el colegio aprender "do, re mi, fa, sol, la, si, DO", y si no, las andanzas de la familia Trapp se han encargado de lo mismo. Por tanto es sensato adoptar una disposición circular que represente esta modularidad.

Aquí podemos observar lo mismo con una escala cromática.

                

Volvamos ahora a cómo usar repeticiones y aportar además de unidad, variedad. Para nuestro ejemplo, digamos que el fragmento melódico que deseamos repetir es DO- RE- MI- SOL, que represento a continuación como una figura geométrica dentro de la escala diatónica.

                

Una primera posibilidad consistiría en lo que llamamos transportar, que consistiría en repetir las mismas distancias desde una nota diferente, si comenzamos desde RE, que es la siguiente a DO, tenemos que:

  • La siguiente a RE, es MI
  • La siguiente a MI, es FA
  • La siguiente a SOL, es LA

 

De forma que nuestro D0-RE-MI-SOL, se transforma en RE- MI- FA- LA. El oído se sorprende ante lo nuevo, reconoce el parentesco y queda satisfecho, lo que es una suerte porque es un procedimiento de construcción melódica que ha marcado la inmensa mayoría de la música, de, por ejemplo, Bach —un caso diáfano es la invención número 1— o Mozart.

Es una operación equivalente a un giro, si seguimos con nuestra analogía visual.

                 

Otra forma en que podríamos haber hecho esto es numerando las notas:

  • Do=0
  • Re=1
  • Mi=2
  • Fa=3
  • Sol=4
  • La=5
  • Si=6

Con lo que nuestro DO- RE- MI- SOL, se convierte en [0, 1, 2, 4].

Puesto que la diferencia entre 0 y 1 (do y re, a donde queremos transportar el fragmento) es uno, no tenemos más que añadir 1 a cada miembro de esta hilera de números para conseguir [1, 2, 3, 5], que al retraducir, nos da RE- MI- SOL- LA. Los músicos quizá podamos pensar que es más difícil hacerlo así, pero es un procedimiento que conviene conocer, por varias razones:

  1. Va, en un futuro, si así lo deseamos, a posibilitarnos transportar, o su análogo, elementos diferentes a la altura.
  2. A las máquinas se les da mucho mejor sumar que el solfeo. Planteándole las cosas de esta forma a un ordenador, podemos lograr que transporte sin problemas la integral de las sinfonías de Mozart en cosa de segundos, o menos, cosa que es práctica hasta el exceso, como cualquiera que toque instrumentos transpositores o haya escrito para ellos sabe perfectamente. —Nota: estoy ignorando deliberadamente la asignación de octava de las alturas para simplificar—

Es obvio que para un transporte ascendente debemos sumar, y para uno desdendente, restar.

Hay sin embargo, un problema con este procedimiento. Supongamos que quiero fransportar el fragmento a FA. La diferencia entre DO y FA es 3, con lo que [0, 1, 2, 4], se convertiría en [3, 4, 5, 7]. Y resulta que 7 no lo tenemos definido en la tabla anterior.

La solución es restar 7 (el número de notas de esta escala) de todo número mayor o igual que 7, tantas veces como sea necesario hasta obtener un número entre 0 y 6. De la misma forma, si en algún momento obtuviésemos resultados negativos, habría que sumar 7, hasta conseguir lo mismo.

Termino este artículo apuntando que con otras escalas de un número diferente de notas, los resultados serían distintos en el transporte. En la escala cromática, DO- RE- MI- SOL se convertiría en RE- MI- FA#- LA. En los grafismos,

                 

se convertiría en

                   

Y, obviamente, en el procedimiento numérico, hay que numerar de 0 a 11, y restar o sumar doces en consecuencia.

En un próximo artículo veremos como con procedimientos gráficos y numéricos como estos, podemos modelar el resto de las transformaciones temáticas del contrapunto.

Técnicas de transformación temática del contrapunto. Similitudes con la simetría. Cálculo numérico.

En el capítulo anterior, veíamos como una técnica sencilla como el transporte servía para producir unidad dentro de una obra. Muchas otras son posibles, pero dentro de las estrictamente referidas a alturas, son muy usuales las llamadas transformaciones temáticas del contrapunto, nombre por cierto que puede dar lugar a error, puesto que no es necesario que haya contrapunto o incluso polifonía en la obra para que su empleo sea frecuente.

Una de las ventajas que nos proporcionaba el transporte era la de provocar simultáneamente unidad y variedad. Es evidente que cualquier técnica de este tipo nos va a resultar extraordinariamente útil, por su economía.

La primera técnica se denomina inversión o movimiento contrario. Consiste en respetar el perfil melódico, pero invertir la dirección del intervalo. Es decir: los saltos melódicos ascendentes los convertimos en descendentes y viceversa.

El ejemplo que veníamos usando era DO- RE- MI- SOL. DO- RE y RE- MI son segundas ascendentes, así contestaremos con segundas descendentes, DO-SI y SI-LA. MI- SOL es una tercera ascendente, así que contestaremos con una tercera descendente desde LA, LA- FA, así que la inversión será DO- SI- LA- FA

Dentro de nuestra analogía gráfica, significa que

                

se convierte en

                 

que, como podemos observar, es claramente la figura simétrica al original.

Numéricamente, expresábamos DO- RE- MI- SOL como [0, 1, 2, 4]. ¿Podemos a partir de estas cifras calcular la inversión?

Sí. Vamos a restar cada uno de estos elementos de 7, que es el número de notas de la escala que hemos elegido emplear.

  • 7-0=7
  • 7-1=6
  • 7-2=5
  • 7-4=3

Con lo que nos queda [7, 6, 5, 3].

Volvemos a encontrarnos con que 7 no está definido. Y la solución es la misma que para el transporte: restamos 7 (o el número de notas que tenga la escala) tantas veces como sea necesario hasta encontrarnos con un número entre 0 y 6 (o entre 0 y el número de notas de la escala). Con lo que nos queda [0, 6, 5, 4], o sea, DO- SI- LA- FA.

Lógicamente, podemos combinar la inversión y el transporte, de forma que obtenemos una buena cantidad de versiones del material original, que cumplen simultáneamente el objetivo de proporcionar unidad y variedad.

Antes de continuar, hagamos un par de comentarios sobre estas transformaciones. Es importante saber que el transporte y la inversión son utilizadísimas en la historia de la música occidental, y bastante en la de otras culturas. No por ser procedimientos que pueden modelarse geométrica o numéricamente hay que pensar que sea mecánicos o carentes de calor. Os emplazo para ver en el próximo artículo como Bach puede generar la práctica totalidad del material de una pieza desde estas premisas.

Hay también que decir que estos procedimientos se aplican empleando el sentido común. Hay materiales que funcionan especialmente bien o especialmente mal al someterlos a la inversión a a cualquier otra de las transformaciones. No hay ni que decir que el compositor empleará los que funcionen bien.

El siguiente procedimiento se denomina retrogradación. Hasta ahora, nos ha sido cómodo ignorar que las notas que hemos elegido tienen un determinado orden. Ahora necesitamos tenerlo en cuenta. En forma de notas, no hay problema: DO- RE- MI- SOL en su orden normal de lectura aporta toda la información.

En forma gráfica, podemos indicar el orden empleando una flecha.

                  

Y en forma numérica, sigue valiendo el orden normal de lectura.

Pues bien, la retrogradación va a consistir en comenzar desde la última nota hasta alcanzar la primera, o, sí preferís, en leer de derecha a izquierda las notas.

DO-RE- MI- SOL se convierte en SOL- MI- RE DO.

                    

se convierte en

                     

Y [0, 1, 2, 4] se convierte en [4, 2, 1, 0]

La última técnica de transformación temática se denomina inversión retrógrada, y consiste en la aplicación de la inversión y la retrogradación simultáneamente. El orden en que se apliquen es irrelevante, puesto que nos saldrá la misma estructura interválica, aunque transportada, según empecemos por una u otra.

DO- RE- MI- SOL se convierte en FA- LA-SI-DO

En forma gráfica, aplicamos la simetría y cambiamos el orden de lectura.

                 

Y, numéricamente, [0, 1, 2, 4], se convierte en [4, 6, 7, 0].

Disponemos entonces, para un material melódico dado, de cuatro versiones:

  1. La forma original, que representamos por O.
  2. La forma invertida, que representamos con una I.
  3. La forma retrograda, que representamos con una R.
  4. La forma sometida a inversión retrógrada, que representamos con IR.

Cada una de estas cuatro versiones puede ser sometida a transporte, de forma que disponemos de 28 (7*4, número de notas de la escala multiplicado por el número de versiones) posibilidades de uso. Más, de hecho, si podemos cambiar la escala de referencia.

En el próximo artículo de esta subserie, veremos algunas de estas posibilidades en acción.

4. Bach en acción. Música y matemáticas (2c)

 

Ejemplos de algunas de las cosas vistas en artículos anteriores en una obra de Bach.

En 1723 Bach decide reunir una serie de obras escritas para el aprendizaje de sus hijos (Wilhelm Friedemann, sobre todo) bajo el título de Invenciones y Sinfonías. La obra recoge quince piezas a dos voces y otras quince a tres, todas ellas con estructura similar —si entramos a profundizar, podemos subdividir en tres tipos de estructura, pero es innecesario para los propósitos de este artículo—. No es ocioso, en cambio, comentar que la palabra Invención proviene de la retórica, y que muchos procedimientos empleados en estas obras se asemejan a los de la retórica.

En el prefacio de la colección, Bach escribe "Recta instrucción en que a los amantes del teclado, y especialmente aquellos deseosos de aprender, se les muestra un camino claro no sólo (1) para aprender a tocar claramente a dos voces, sino, después de progresar, (2)para manejarse correctamente y bien con tres partes de obligatto; más aún al mismo tiempo no sólo a tener buenas invenciones sino a desarrollarlas bien y, sobre todo alcanzar un estilo cantabile al tocar y adquirir un fuerte pregusto de la composición (las negritas son mías).

Bach compuso pues una obra no sólo para enseñar a tocar, sino también a componer. Es por ello que suelo usar las Invenciones para ilustrar ciertos procesos compositivos.

La invención de la que nos vamos a ocupar es la nº 1, a dos voces, que podéis oír pulsando aquí si vuestro navegador es capaz de reproducir archivos MIDI. La interpretación es mecánica para que podáis sacar vuestras propias conclusiones. Si deseáis escuchar una grabación muy bien interpretada, os recomiendo la de Kenneth Gilbert.

Veíamos en un capítulo anterior como la creación de forma depende en ocasiones de la repetición de un fragmento musical. Aquí tenéis el fragmento sobre el que reposa esta pieza. A este tipo de fragmentos que sirven de base a una obra, los denominamos cuando cumplen ciertos requisitos motivos, o, más exactamente en este caso sujetos.

En ese mismo capítulo hablábamos de como podíamos conseguir por medio del transporte una mayor satisfacción para el oído sin perder unidad. Pulsando aquí podréis escuchar un ejemplo singularmente trivial —no tiene sentido intentar mejorar a Bach— de este procedimiento.

En el capítulo siguiente veíamos que existe una técnica de transformación temática llamada inversión. Pulsando aquí podéis escuchar el sujeto de esta invención invertido.

Como es natural, en la creación de melodía pueden combinarse ambas versiones, más transportes de las mismas.

En mi experiencia, cuando uno explica estos procedimientos, tiende a encontrarse que la gente piensa que son fríos, mecánicos y poco humanos. Lejos de ello, son muy naturales y es fácil interiorizarlos hasta que salgan de manera espontánea sin pensar en ellos.

Observemos si Bach ha empleado algo de esto. Para los que no sepáis leer música, estad tranquilos, sólo os hace falta distinguir los colores que hay en la partitura.

  • Marcadas con elipses rojas, están las apariciones del sujeto en su forma original —no he distinguido los transportes porque hubiese necesitado una partitura mucho mayor, que hubiese hecho impráctico leer el archivo a quienes se conecten por módem—.
  • Marcadas por elipses azules, las intervenciones por movimiento contrario.
  • Marcadas con cuadrados rojos, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas del sujeto, casi siempre con valores rítmicos dobles —este proceso se llama aumentación—.
  • Marcadas con cuadrados azules, intervenciones de tan sólo las cuatro primeras notas por movimiento contrario, también casi siempre por aumentación.
  • Marcadas con cuadros verdes, intervenciones del final del sujeto enlazado varias veces consigo mismo.
  • Subrayadas en verde intervenciones de las últimas notas por movimiento contrario y aumentación.

No he querido marcar un motivo de menor importancia que existe en la obra para no acumular grafismos. Y, por no generar polémica, no he marcado algunos puntos que puede argüirse perfectamente que se derivan también del sujeto.

Como cualquiera puede ver, el único compás de la obra en que no aparece el sujeto o fragmentos del mismo, varias veces, además, es el que contiene el acorde final. Creo que esto demuestra claramente la eficacia de las técnicas que hemos comentado recientemente.

El próximo artículo de esta subsección será el último. En él veremos qué ideas han sugerido a los compositores del siglo XX y XXI estas técnicas. Posteriormente, hablaremos de otros tipos de utilización de números en la música, comenzando con la obsesión de Bach por el 14 y cómo lo aplicó en su última obra, que dictó desde el lecho de muerte.

Cómo se han aplicado en el siglo XX algunas de las técnicas recientemente vistas.

Comencemos con un breve resumen de lo visto en capítulos anteriores.

En el primer capítulo estudiábamos la necesidad de que la obra sea unitaria. Veíamos también que una de las formas en que eso se podía lograr era por medio de la repetición de material temático, sometido a transportes. Notábamos también que el proceso era semejante a ciertas manipulaciones topológicas y numéricas.

En el siguiente artículo, estudiábamos las llamadas técnicas de transformación temática del contrapunto, viendo que existía igualmente la posibilidad de encontrar semejanzas con la topología y la aritmética modular.

En el penúltimo capítulo veíamos ejemplos de todo ello dentro de una obra de Bach.

Comencemos por aclarar que en época de Bach esas técnicas eran ya muy antiguas, y que podemos encontrar tantos ejemplos como sea preciso de su utilización. De la misma forma, los ejemplos dentro de la obra de Bach se extienden a la práctica totalidad de su obra. Y ejemplos posteriores son también enormemente abundantes.

Es por ello que cuando la Segunda Escuela de Viena necesita encontrar una forma de utilizar su concepto de serie, recurre a estos medios para manipularla. En otra parte de esta web podéis encontrar un artículo extenso sobre cómo esta escuela no pretende una ruptura con la tradición sino todo lo contrario.

Podríamos definir brevemente la serie como una determinada ordenación de un conjunto de notas, estableciendo que la octava en que se encuentre cada nota es irrelevante (esta última condición es el equivalente de la teoría de las Pitch classes, de tanta vigencia en Norteamérica. En el caso concreto de la Segunda Escuela de Viena, hay que añadir la condición de que se empleen todas las notas de la escala cromática una sola vez. Otras condiciones son irrelevantes para los propósitos de este artículo.

Tras la segunda guerra mundial, por razones que no vienen ahora al caso, se desarrolla el concepto de serialismo integral, que viene a consistir en que se aplica el concepto de serie a parámetros diferentes de la altura, como pueden ser duraciones, ritmos, ataques, dinámicas, timbres…

Esta aplicación del concepto de serie resulta contraintuitiva para muchos músicos, que no aciertan a veces a comprender cómo las técnicas de transformación del contrapunto pueden aplicarse a estos elementos.

La base para comprenderlo, es aplicar el concepto de modularidad a estos parámetros. Para poner un ejemplo, vamos a jugar con combinaciones de timbres.

  • Combinación 0: Violín, viola, flauta.
  • Combinación 1: Arpa, viola, flauta.
  • Combinación 2: Arpa, viola, vibráfono.
  • Combinación 3: Arpa, marimba, vibráfono.
  • Combinación 4: Violín, marimba, vibráfono.
  • Combinación 5: Violín, marimba, flauta.

Es fácil ver que comenzamos en 0 con una combinación de sonidos contínuos (a partir de ahora los denominaremos sonidos de tipo línea) y vamos añadiendo sonidos no contínuos (a partir de ahora los llamaremos de tipo punto) hasta que en 3, ninguno lo es, y luego procedemos al contrario, logrando así una disposición de los timbres que resulta evidentemente ordenada y modular. Supongamos que establecemos un motivo tímbrico [0, 1, 2, 3, 5, 0]. La sensación para el oído será la de un tránsito suave de los sonidos línea a los de tipo punto y luego un regreso rápido a los de tipo línea, que se confirmaría en el último paso.

¿Cabría aplicar la técnica del transporte? ¿Tendría sentido musical? Para comprobarlo, transportemos a la combinación 3.

En forma gráfica.

                     

Nos da

                     

En forma modular, sumando 3 a cada miembro de [0, 1, 2, 3, 5, 0], nos sale [3, 4, 5, 6, 8, 3]. Como 6 y 8 exceden las 6 combinaciones que hemos establecido, restamos 6, hasta conseguir números entre 0 y 5, con lo que nos queda [3, 4, 5, 0, 2].

Podemos observar que vuelve a tener perfecto sentido musical, en este caso una transición suave de los sonidos punto a los línea, una brusca a los de tipo punto y una confirmación final.

Resulta evidente que podemos aplicar el mismo tipo de operaciones para crear los análogos de inversión, retrogradación e inversión retrograda, y de los transportes de cada una de ellas (si no resulta evidente, comentadlo).

Dos cosas quedan por comentar. La primera, que no en todos los casos va a resultar tan evidente la posibilidad de modularizar los parámetros que deseemos. Lanzo la afirmación, que espero que discutáis, de que la modularización es siempre arbitraria, incluso en el caso de las alturas, añadiendo inmediatamente que esa arbitrariedad supone una decisión por parte del compositor de sustentar parte de la forma de la obra en el parámetro elegido (sobre este tipo de arbitrariedad, tendré ocasión de comentar cosas en un próximo artículo).

La segunda, es para mí la más importante. Creo que uno de los resultados más extraordinarios del serialismo integral es la idea de poder confeccionar escalas de elementos diferentes a la altura. Esta posibilidad de escalizar elementos ha sobrevivido mucho y bien al serialismo integral, y supone un grado de enriquecimiento de la música notable, en la medida en que abre todos los parámetros musicales a la posibilidad de sustentar la forma.

Termino con esto esta subserie. En otro orden de cosas, anuncio que los siguientes artículos con contenidos matemáticos no tendrán por título "Música y matemáticas", para no tener que llevar cuentas de qué número y letra habéis leído o dejado de leer. En su lugar, abro una categoría nueva (la podéis ver en la barra azul de la izquierda de la portada) con ese título.






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